Finite Field - Groups, Rings, and Fields

-  Group
Group은 다음과 같은 조건에 대해 닫혀있는 원소의 집합입니다.

. associative law(결합법칙) : (a*b)*c = a*(b*c)
. has identity e: e*a = a*e = a

. has inverses a^(-1): a*a^(-1) = e
. if a∈G and b∈G then a˚b∈G

- Abelian Group
Group의 조건을 만족하면서 commutative(교환법칙)에 대해 닫혀있는 원소의 집합입니다. 예를들어 덧셈 연산의 정수집합, 곱셈 연산의 0이 아닌 실수 집합 등이 있으며 원소의 갯수 조건이 n>2인 경우이라면 Abelian group이 아닙니다.

- Cyclic Group
Group에 속하는 원소 a의 지수승 연산으로 다른 원소들이 표현될 때 Cyclic Group이라고 합니다.

- Ring
Ring은 기본적으로 덧셈과 곱셈, 두개의 binary operation에 대해 정의합니다.
덧셈에 관해서는 Abelian Group의 속성을 만족하고, 곱셈에 관해서는 1)has Closure 2) associative law 3) distributive over addition(분배법칙) 과 같은 성질을 만족해야 합니다.

- Commutative Ring
Ring을 만족하면서 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 원소의 집합을 Commutative Ring이라고 합니다.

- Integral Domain
Commutative Ring이면서 곱셈에 대해 항등원이 존재하고 Zero divisor가 존재하지 않을 때 integral domain이라고 합니다. zero divisor란 '0'이 아닌 두 수를 곱해서 0이 나오는 수를 말합니다. 직관적인 예를 들면 행렬에서 영행렬이 아닌 두 행렬을 곱했을 때 영행렬이 나오는 경우가 있죠. 그런 경우를 떠올리시면 이해하시기 편할 것입니다. 

- Field
Integral Domain이면서 곱셈에 대한 역원이 존재하는 경우 Field라고 합니다.